This article presents the concept of the derivative. A clear understanding of the derivative can help any interested reader increase their interest in mathematics, improve their knowledge independently, and develop logical, creative, critical, analytical, positive, and deductive thinking skills.

Mazkur maqolada matematika fanini o‘qitishda qo‘llanilgan yangi pedagogik texnologiyalar va uning ahamiyati , ularni dars jarayonida qo‘llashda erishilgan natijalar keltirilgan. Bugungi kunda fanlarni o‘qitishda eskirgan usullardan voz kechib, zamonaviy metodlardan foydalanib, boshqa fanlarga bog‘liqligini nazariy va amaliy jihatdan o‘quvchilarga tushuntirib berish eng katta maqsadimizga aylanib bormoqda. Hosila mavzusi ta’rif va jadval asosida yoritilib boriladi; Yig‘indining hosilasi, ayirmaning hosilasi, ko‘paytma va bo‘linmaning hosilalarini ta’rif yordamida tushuntirish nazarda tutilgan.

Due to the large applicability of fractional equations to physical, technical, and biological processes, scientists around the world are increasingly interested in the study of higher-order equations involving fractional derivatives. Today, the study and solution of initial boundary value problems for higher-order mixed-type equations involving fractional derivatives has become an urgent task. In this work, the initial-boundary value problem in a cylindrical domain for a partial differential equation involving a fractional derivative in the Miller-Ross sense and the initial-boundary value problem for a higher-order fractional differential equation in the Sobolev class are investigated. Spherical functions are a method that allows us to find solutions to problems in mathematical physics more simply, easily, and quickly. With the help of these functions, it is possible to easily find solutions to even more complex problems.

Ushbu maqolada ma’lumotlar oqimini vaqt bo‘yicha o‘zgarishini baholash uchun kombinatsiyalangan hosila yondashuvi taklif etiladi. An’anaviy differensial operatorlar ma’lumotlar notekis oqimga ega bo‘lgan real tizimlarda xatoliklarni oshirishi mumkin. Shu sababli hosilaning vaqt bo‘yicha lokal va global komponentlarini birlashtiruvchi yangi formuladan foydalanildi. Taklif etilgan metod katta hajmdagi ma’lumotlarni qayta ishlashda aniqlikni oshiradi va signal-tezlik tahlilida samaradorlikni kafolatlaydi. Tadqiqot natijasida kombinatsiyalangan hosila yordamida oqim intensivligini bashorat qilishning yaxlit matematik modeli ishlab chiqildi.

Ushbu maqolada matematik analiz bo‘limlaridan biri bo‘lgan oshkormas funksiyalarni differensiallash mavzusi nazariy va amaliy jihatdan yoritilgan. Oshkormas funksiya tushunchasi, uning differensiallanish usullari, zanjir qoidasining qo‘llanilishi hamda turli misollar orqali hosila topish algoritmlari batafsil tushuntirilgan. Shuningdek, ushbu usulning geometriya, fizika va boshqa sohalardagi tatbiqlari ko‘rsatib berilgan. Maqola oliy ta’lim muassasalari talabalari va umumta’lim maktablari o‘quvchilari uchun mo‘ljallangan.

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarni differensiallash matematik analizning muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, ko‘p o‘zgaruvchili argumentli funksiyalarning o‘zgarish tezligini va lokal xususiyatlarini o‘rganishga xizmat qiladi. Ushbu mavzuda qisman hosilalar, gradient, differensial va ularning geometrik hamda fizik talqinlari tahlil qilinadi. Shuningdek, differensiallashning zanjir qoidasi, yo‘nalishli hosila va to‘la differensial tushunchalari kiritilib, ularning amaliy masalalarni yechishda qo‘llanilishi ko‘rib chiqiladi. Bu bilimlar matematik modellashtirish, optimallashtirish, fizik jarayonlarni tahlil qilish va muhandislik hisoblarida muhim ahamiyatga ega.

"Hosila" atamasi derivee degan fransuzcha so'zning rus tiliga aynan tarjimasidir, bu atamani 1797-yilda J.Lagranj xozirgi belgilashlarni ham kiritgan. Kasr tartibli hosilalarni aniqlashga bo’lgan birinchi urunishlar. Kasr tartibli hosila va integrallar mavzusi ko’p yillik tarixga ega bo’lishiga qaramasdan uni zamonaviy tadqiqot obyekti sifatida qarash mumkin. Aslida bu haqida Leybnits(1695-1697) va Eyler o’z kitoblarida yozib qoldirishgan.

Oshkormas funksiyalarni differensiallash — bu funksiya aniq ko‘rinishda y = f(x) tarzida emas, balki F(x, y) = 0 tenglama orqali berilgan hollarda hosila topish usulidir. Bunda y o‘zgaruvchisi x ga bog‘liq deb qaraladi va differensiallashda zanjir qoidasidan foydalaniladi. Natijada hosila dy/dx ifodasi x va y orqali aniqlanadi. Ushbu usul murakkab tenglamalar, egri chiziqlar yoki ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar orasidagi bog‘lanishni tahlil qilishda keng qo‘llaniladi.

Ushbu maqolada 5G texnologiyasining iqtisodiyotdagi imkoniyatlari tahlil qilingan. 5G tarmog’ining yuqori tezligi va past kechikishi, avtomatlashtirish va yangi iqtisodiy sektorlarni yaratishda qanday ahamiyat kasb etishi muhokama qilinadi. Shuningdek, sog’liqni saqlash, moliya, transport va energetika sohalarida 5G texnologiyasining kutilayotgan ijobiy ta’siri va innovatsion imkoniyatlari ko’rib chiqilgan. Maqolada, 5G tarmog’ining yangi xizmatlarini yaratish, masofaviy boshqaruvni rivojlantirish va global iqtisodiy o’sishni qo’llab-quvvatlashdagi o’rni hamda uning iqtisodiyotga bo’lgan keng ko’lamli ta’siri yoritilgan.

Ushbu maqolada funksiyani o’sish va kamayish oraliqlariga tekshirish haqida ma’lumot keltirilgan va misollar ishlab ko’rsatilgan

The basic concepts of mathematical analysis are function, derivative, differential, and continuity. These concepts form the basis of theoretical mathematics, as well as physics, technology, economics, and many other sciences. The article outlines the characteristics of these concepts and presents the connections between them

Ushbu maqolada diskret matematika va matematik mantiqning shakllanish tarixi yoritiladi. Fan tarixida ko‘pincha G‘arb olimlarining hissasi tilga olinadi, biroq qadimgi Bobil, Misr, Hindiston, Xitoy va Islom olami mutafakkirlari ham bu yo‘nalishda muhim ilmiy kashfiyotlar qilgan. Xususan, Al-Xorazmiy, Forobiy, Beruniy va Nasiriddin Tusi kabi olimlarning algoritmlar, kombinatorika va mantiq sohasidagi ta’siri tahlil qilinadi. Shuningdek, diskret matematikaning zamonaviy texnologiyalar, sun’iy intellekt va kriptografiyadagi roli ham ochib beriladi.

Ushbu maqolada funksiyaning uzluksizligi tushunchasi va monotoniya (o‘suvchi yoki kamayuvchi bo‘lish) xossasining asosiy pedagogik va nazariy jihatlari izohlanadi. Uzluksizlikning limit orqali, ε–δ ta’riflari, shuningdek ketma-ketliklar yordamidagi ekvivalent ko‘rinishi beriladi. Monoton funksiyalar uchun ta’riflar, ularning grafik xususiyatlari, hosila orqali monotoniya mezoni, bir tomonlama limitlar va sakrashli uzilishlar haqida muhim faktlar yoritiladi. Maqola davomida sodda misollar bilan tushunchalar mustahkamlanadi hamda uzluksizlik va monotoniya o‘rtasidagi bog‘lanishlar (masalan, uzluksiz funksiyada oraliq qiymatlar xossasi, monoton funksiyada esa bir tomonlama limitlarning mavjudligi) taqqoslab ko‘rsatiladi.

Ushbu maqolada ayqash toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofani hisoblashga oid masalalar muhokama qilinadi. Ayqash chiziqlar deganda, o'zaro paralel bo'lmagan va bir-biriga burchakli boʻlgan toʻgʻri chiziqlar tushuniladi. Maqola, geometriya fanining asosiy tushunchalariga tayangan holda, ayqash toʻgʻri chiziqlar orasidagi masofani aniqlashning matematika va geometriya usullari orqali qanday amalga oshirilishini tushuntiradi. Bu masala, o'zaro parallel yoki burchakli joylashgan toʻgʻri chiziqlar orasidagi eng qisqa masofani aniqlash uchun murakkab algebraik va geometrik yechimlarni talab qiladi. Annotatsiya, ayniqsa, bu masalalarni chuqurroq o'rganishga va turli geometrik vaziyatlarni aniqlashga qiziqadigan talabalar va ilmiy izlanish olib borayotganlar uchun foydalidir. Maqola, bunday masalalar bilan bog'liq ko'plab amaliy ilovalar va amaliy muammolarni yoritadi.

Mobile communication networks are an important part of modern communication systems. With them, remote communication, internet use, telephone conversation and other services are easily carried out. Mobile networks include 2G, 3G, 4G and 5G technologies, each with its own distinct advantages. Mobile communication systems are widely used not only in communication, but also in economic development, education, medicine and other areas. Through the development of mobile networks, mobile internet and online services have become popular, leading to social and economic changes globally. At the same time, issues of security and confidentiality of mobile networks are relevant, and new technologies are being developed to further improve them. In the future, more high-speed data transmission over 6g networks, integration of artificial intelligence and IoT technologies are expected.

Ushbu maqolada kriptovalyuta va Bitcoin tushunchalari, ularning kelib chiqishi, ishlash mexanizmi va zamonaviy iqtisodiyotdagi o‘rni yoritiladi. Kriptovalyutalar markazlashmagan raqamli aktivlar bo‘lib, blokcheyn texnologiyasiga asoslangan. Bitcoin – eng mashhur va qadri bo‘yicha yetakchi kriptovalyuta bo‘lib, uni yaratishdan maqsad markaziy banklarga bog‘liq bo‘lmagan global to‘lov tizimini shakllantirish edi. Maqolada, shuningdek, kriptovalyutalarning afzalliklari va kamchiliklari, ularning xavfsizligi, investitsiya imkoniyatlari va huquqiy tartibga solinishi haqida ma’lumot beriladi. Bozorning istiqbollari va rivojlanish tendensiyalari ham tahlil qilinadi.

"Hosila" atamasi derivee degan fransuzcha so'zning rus tiliga aynan tarjimasidir, bu atamani 1797-yilda J.Lagranj xozirgi belgilashlarni ham kiritgan. Bunday atash tushuncha mazmunini aks ettiradifunksiya funksiyadan kelib chiqadi, ufunksiyaning hosilasidir. I.Nyuton hosilaviy funksiyani flyuksiya, funksiyaning o'zini esa flyuenta deb atagan.G.Leybnis differensial nisbat haqida gapiradi va hosilani  kabi belgilaydi.

Ushbu maqolada matematika ta’limida media vositalaridan foydalanishning samaradorligi ilmiy asosda tahlil qilinadi. Parabola, hosila, integral kabi mavzularda GeoGebra, Desmos, YouTube platformasidagi darslar va boshqa interaktiv platformalardan foydalanishning amaliy ahamiyati tahlil etilib, uslubiy ko’rsatmalar ishlab chiqildi.

This article presents the advantages and disadvantages of an integrative approach to teaching mathematics in pharmaceutical educational institutions.

Ushbu maqolada funksiyaning egilish nuqtalari tushunchasi, ularni aniqlash mezonlari hamda bu nuqtalarning funksiyalar grafigidagi ahamiyati yoritilgan. Maqolada ikkinchi tartibli hosila yordamida egilish nuqtasini topish usuli, qavariqlik va botiqlik atamalari bilan bog‘liq nazariy asoslar va misollar orqali mavzuning amaliy tomoni ko‘rsatib berilgan. Mazkur ish o‘quvchilarga va talabalar uchun funksiyalar grafigini tahlil qilish ko‘nikmalarini rivojlantirishga yordam beradi.

Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama va ularni yechish yo'lini keltiring chiqariladi.Differensial tenglamada Bernulli differensial tenglamalarini va ularga o'zgartiruvchi kiritish bilan ko'rinishini o'zgartirib chiziqli tenglamaga keltiriladi va uni chiziqli tenglamasi yechiladi

Maqolada Oʻzbekiston xalq shoiri Muhammad Yusuf sheʼriyatida metaforalarning qoʻllanilishi, ularning  sheʼriyatda poetik vazifa bajarishi shoir sheʼrlari asosida tahlil qilingan.

Ushbu maqolada noelementar funksiyalar haqida ma’lumotlar keltirilgan. Hamda ba’zi bir noelementar funksiyalar ko‘rinishdagi funksiyalar orqali misol qilib tushunchalar keltirilgan. Bunda funksiyalarning asosiy xossalaridan, aniqlanish sohasidan, qiymatlar sohasidan, shuningdek funksiyalarning grafigidan ham foydalanilgan.

Ushu maqolada Biz ba'zi kimyoviy moddalar uchun aniq analitik echimlarni ko'rsatamiz. Differensial aylantirish usuli yordamida muammolarni izlash mumkin. Aslida hisoblash jarayonida, differensial konvertatsiyaga asoslangan holda, asl farq- entsial tenglamalar birinchi navbatda bir qator algebraik tenglamalarga aylantiriladi, ular bo'lishi mumkin ramziy hisoblash dasturi orqali, keyin esa differentsial yordamida osonlikcha hal qilinadi teskari konvertatsiya bularning aniq analitik echimlarini to'g'ri izlashi mumkin.

Biz bu maqolada asosan ko`p o`zgaruvchili funksiyalarning differensiallari,Laplas operatorining ikki o`zgaruvchili funksiyaga tatbiqiga doir misollar hamda murakkab ikki o`zgaruvchili funksiyalarni birdan ortiq hosilalarini ko`rib chiqamiz.